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Pi greco e il metodo Monte Carlo

pi grecoCi sono parecchi modi per definire il pi Greco, il rapporto tra circonferenza e diametro, l’area del cerchio con raggio unitario, la metà della circonferenza di raggio unitario, ecc. Fatto sta che le cifre della mantissa del pi greco sono infinite e non ripetitive. Ma come si calcolano le cifre che compongono la parte decimale di questo numero magico?

Ricavare il pi greco con la formula di Leibniz:
\({\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}\)

Uno dei metodi più semplici per ricavare le cifre decimali del pi greco senza fondere il vostro pc è la formula di Leibniz. L’algoritmo non è efficientissimo, ma con un semplice foglio excel possiamo provare a fare due conti, non dobbiamo far altro che sommare e sottrarre i reciproci dei numeri dispari e moltiplicare il risultato per 4.

Calcolo Pi Greco Formula di Leinbiz.numbers (File Numbers)

Calcolo Pi Greco Formula di Leibniz (File excel)

Il Metodo Monte Carlo

pi grecoUn ulteriore metodo per calcolare l’espansione decimale di pi è il Metodo Monte Carlo. Il metodo si basa sull’area di un cerchio di raggio unitario iscritto in un quadrato.

Senza titolo
[latex]\frac{area cerchio}{area quadrato}=\frac{{\pi} r^{2}}{\left( 2 r \right)^{2}}=\frac{{\pi} r^{2}}{4r^{2}}=\frac{\pi }{4}[/latex]

Ora immaginiamo che la figura sopra sia il nostro bersaglio e sparando a caso, rapportiamo tutte le volte che il nostro tiro finisce all’interno del cerchio con il numero dei tiri totali. Più sono i tiri, maggiore sarà l’approssimazione del nostro pi greco, ovviamente con miliardi di tiri abbiamo una buona approssimazione di pi fino alla 3 cifra decimale. Questo è un bel metodo per fondere il vostro pc.

area cerchio = ipotenusa < 1

area quadrato = tiri totali

\({\pi}=4{\frac{Tiri a Segno}{Tiri Totali}}\)

Metodo montecarlo per pi.numbers

Metodo montecarlo per pi

Wikipedia

In pratica il metodo funziona così: si generano numeri casuali compresi tra 0 e 1 che rappresentano la coordinata x e y del nostro tiro. Applicando il teorema di Pitagora se l’ipotenusa supera 1 significa che il nostro tiro è finito nell’area del quadrato, se invece è minore di 1 sta a significare che il nostro tiro è finito all’interno dell’area del cerchio (e ovviamente del quadrato). Per cui il rapporto tra il numero di tiri totali ed i tiri che finiscono nel cerchio tende all’area che cerchiamo pir^2. Ovviamente generando con excel numeri casuali tra 0 e 1 dobbiamo moltiplicare il risultato per 4 in quanto vengono generate le coordinate del primo quadrante!

Il metodo Monte Carlo venne usato durante il progetto Manhattan per il calcolo del trasporto neutronico, al fine di costruire la bomba atomica, (oggi è anche aimé l’anniversario dello sgancio della bomba su Hiroshima).

Altri metodi per il calcolo di pi

Ci sono altri metodi più efficienti ma molto più complicati per calcolare le cifre decimali di pi. Anche il grande Gauss si cimentò nell’impresa, infatti esiste un metodo che porta il suo nome. Se non sbaglio il record di calcolo della mantissa di pi è stato ottenuto proprio con un metodo derivato da quello di Gauss–Legendre e dovrebbe ammontare a 2 alla 30 cifre +/-.