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Matematica, occhi per vedere oltre le 3 dimensioni

Nell’articolo precedente si parlava del problema n-body, cioè l’interazione gravitazionale tra più oggetti, in questi giorni ho scritto qualche linea di codice in più sfruttando playground (spero di riuscirlo a finire il software, così da metterlo a disposizione su github, per adesso è molto rudimentale), il risultato lo potete vedere nel video sopra. Quello che matematicamente viene calcolato dal marasma di simboli e formule viene rappresentato graficamente nel video sopra.

Non sempre però si può rappresentare graficamente ciò che la matematica ci permette di descrivere, ed è proprio questo la potenza della matematica, ci permette di manipolare cose che non possiamo rappresentare graficamente. Di seguito vediamo qualche esempio.

Tesseratto, nuova specie di topo?

No, non è una specie di topo, se vi fa ribrezzo il nome possiamo chiamarlo anche ipercubo, ma procediamo per gradi.

Cubo di Rubik

Disegnare un quadrato su un foglio è semplicissimo, anche un bambino sarebbe in grado di farlo, matematicamente potremmo descriverlo con le coordinate dei suoi vertici che sono 4, [0, 0] [0, 1] [1, 0] [1, 1]. Più complicato è disegnare un cubo, ma ancora fattibile, inoltre possiamo anche costruirlo fisicamente. Matematicamente invece possiamo seguire lo stesso metodo usato per il quadrato aggiungendo la nuova coordinata, ovviamente i vertici saranno 2 elevato alla terza potenza cioè 8, laborioso ma fattibile [0,0,0] [0,0,1]…, [1,1,1].

Matematica 4d Tesseratto

Veniamo adesso al nostro tesseratto o ipercubo, come si disegna un ipercubo? Non si può fare. La sua ombra però può essere tracciata,  nel disegno al lato potete vedere l’ombra di un ipercubo in uno spazio a 3 dimensioni (pensateci bene, una figura 3d proietta un ombra in due dimensioni, una figura 4d proietta un ombra in 3 dimensioni!). Se vi trovate a parigi potete visitare l’ombra di un ipercubo costruita fisicamente, si tratta dell’Arche de La DéfenceArco de La Défense (ebbene si , non c’è solo l’Arco di Trionfo), potete vedere la foto qui di fianco.

Matematicamente invece possiamo rappresentarlo eccome il nostro tesserato, usando il metodo precedente, il nostro tesserato avrà 2 elevato alla 4 potenza, cioè 16 vertici, certamente una procedura laboriosa, ma possiamo farci calcoli, questa è la potenza della matematica, e con lo stesso principio possiamo costruire cubi a n-dimensioni o altri politopi (penteratto, esseratto, etteratto, ecc.).

Matematica e Politopi “I matematici sono una specie di francesi: se si parla con loro, traducono tutto nella loro lingua, e allora tutto diventa subito qualcosa completamente diverso”

J.W. Goethe

Ovviamente le immagini vengono da wikipedia ©.

Se l’argomento vi interessa leggetevi “Il disordine perfetto. L’avventura di un matematico nei segreti della simmetria”.