Il problema del collezionista

collezionista

Nell’articolo precedente, con un semplice script python ho provato a stimare il numero di pacchetti da comprare per essere certi di completare un album di figurine. Ieri, facendo la spesa mi hanno dato la bustina che vedete in figura. Sopra c’è scritto “Pasta modellabile in 18 colori assortiti“. Mi è venuto in mente il problema dell’articolo precedente, quante volte dovrò fare la spesa per essere sicuro di beccare tutti i colori? Ho inserito i dati nello script è la media è di 60 volte (servono 60 bustine!).

Cercando un po’ in giro ho trovato che questo tipo di problema ha un nome: The Coupon Collector’s Problem ovvero problema del collezionista. Non ci crederete, ma esistono addirittura pubblicazioni scientifiche sulla cosa, una è dell’università di Barcellona, il paper è molto esaustivo.

In pratica il problema del collezionista si risolve con una semplice formula che però non è affatto banale (semplice solo da scrivere), si tratta di risolvere una serie armonica:

\(N\sum_{i=1}^{N}{\frac{1}{i}}\)

N è il numero dei colori (per l’album il numero delle figurine da attaccare), bisogna moltiplicare N per la somma dei reciproci da 1 a N (ovvero la somma delle probabilità di beccare un doppione, il che aumenta man mano che completiamo la collezione). Purtroppo bisogna farsi tutto il conto, non ci sono scorciatoie, per 18 elementi si può anche fare, ma provate con le 748 figurine! C’è una scorciatoia che ci permette di approssimare il conto ma comunque richiede un calcolo complesso con costante \(\gamma\) (costante di Eulero-Mascheroni).

Ecco, adesso avete un motivo in più per appassionarvi alla matematica, un problema banale può rivelarsi molto complicato!